Áreas de interés

• Lógica
  • Teoría de conjuntos

    La teoría de conjuntos es la teoría matemática que estudia el infinito. Tanto el conjunto de los números naturales (0,1,2,3,...), como el conjunto de los números reales (pi,1/3,e,0,68753947...,1,...) son infinitos. Sin embargo, George Cantor demostró que hay más números reales que números infinitos (no se pueden poner en correspondencia uno a uno). Este resultado induce la siguiente pregunta, ¿cuántos niveles infinitos hay, y cuál es su estructura? Sorprendéntemente hay infinitos niveles y su estructura es extremadamente rica y compleja.
    No obstante, los axiomas de las matemáticas (ZFC) no son capaces de responder a estas preguntas. De igual manera que la teoría de grupos no decide el axioma de la conmutatividad (en algunos grupos es cierto y en otros no), la teoría de conjuntos no decide como de grandes pueden ser estos niveles infinitos ni vertical ni horizontalmente.
    Esto motiva la segunda gran objetivo de la teoría de conjuntos, ¿cómo completar la teoría ZFC para decidir todos los problemas naturales?

  • Lógicas infinitarias
  • Teoría descriptiva de conjuntos

    ¿Qué es más complejo, saber si una función continua es diferenciable, o saber si un conjunto compacto no tiene agujeros? La teoría descriptiva de conjuntos permite formalizar este tipo de preguntas, responderlas, y establecer traducciones de un problema a otro. Mediante el uso de las jerarquías Boreliana y proyectiva, podemos establecer un marco con infinitos niveles de complejidad en los que clasificar los problemas. En este caso, ninguno de los dos problemas es Boreliano, pero ambos están en la misma altura de complejidad en clases opuestas.
    En su versión de dimensión dos, trasladamos el estudio de subconjuntos a relaciones de equivalencia, formalizando así las preguntas del tipo, ¿es más complejo saber si dos espacios de Banach son isomorfos, o si dos variedades son difeomorfas? De nuevo las jerarquías Boreliana y proyectiva permiten formalizar y responder este tipo de preguntas.

• Geometría diferencial
• Estadística y probabilidad